Курсовая работа по сопромату Расчет на прочность Формула Мора Метод перемещений Задача Энгессера Задача А.Р. Ржаницына Обобщённый закон Гука-Коши Прочность и разрушение материалов и конструкций


Курсовая работа по сопромату (сопротивление материалов)

Задача А.Р. Ржаницына об устойчивости сжатого стержня в условиях ограниченной ползучести

 Все материалы обладают тремя основными свойствами – упругости, пластичности и вязкости. При длительной эксплуатации конструкции, которая содержит сжатый силами Р стержень, может проявиться свойство вязкости материала в виде его ползучести либо релаксации напряжений. Эти явления при ограниченной ползучести (для таких материалов,как бетон, полимеры,композиты) описываются законом Кельвина:

   (9.135)

где  время релаксации, Е – модуль продольной упругости, Н – длительный модуль упругости,  и  - скорости напряжений и деформаций.

 Рассмотрим шарнирно опёртый стержень, сжатый силами Р (рис. 9.45).

 

 Рис. 9.45

 Из условий равновесия отсечённой части стержня имеем N = -P, Q = 0,

M = PV. Деформация и её скорость при изгибе стержня:

  (9.136)

 Умножая (9.135) на , интегрируя по площади стержня и используя (9.136), получаем:

   (9.137)

где 

 Подставляя в (9.132) выражения  находим:

  (9.138)

 Примем для прогиба V и его скорости выражения

  .

 Тогда из (9.138) получаем:

   (9.139)

где  - (9.140) 

бифуркационнные нагрузки Л. Эйлера и А.Р. Ржаницына.

 Обозначим: . (9.141) 

Тогда уравнение (9.139) преобразуется к виду

  (9.142)

 Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

  

или, после потенцирования,

   . 

 Постоянную С находим из начального условия  при  

В результате получаем:

  (9.143)

 Если прогиб по методу проб Эйлера на устойчивость, то выражение (9.142) даёт закон поведения прогиба после снятия возмущающей поперечной силы. Возможны три состояния процесса изгиба стержня во времени t. При  коэффициент , и из (9.143) следует, что при прогиб , т.е. стержень устойчив, т.к. возвращается со временем к своей начальной прямолинейной форме (рис. 9.45).

 Рис. 9.46

 При  имеем , и при прогиб , т.е. стержень неустойчив. При  имеем  и решение уравнения (9.137)  Стержень остаётся в безразличном состоянии на границе между устойчивым и неустойчивым состояниями процесса выпучивания.

  Таким образом, мы обнаруживаем что при  сжатый стержень обладает свойством длительной устойчивости, т.к. после снятия возмущения остаётся пребывать в малой окрестности исходного невозмущенного состояния при  

 Реальные стержни обладают начальными несовершенствами своей прямолинейной геометрической формы. Пусть V0 – начальный технологический прогиб оси стержня. Будем смотреть на него как на малый возмущающий фактор. Тогда кривизна изогнутой оси стержня в процессе его деформирования:

  

а относительные деформации и напряжения:

 

 Умножим вновь (9.122) на и, интегрируя, получим уравнение

  (9.144)

 Полагая в (9.144):

  

и учитывая обозначение (9.141), приходим к уравнению

   (9.145)

 Решение уравнения (9.140) имеет вид

  (9.146)

 Начальным условием при для решения (9.146) является статическое решение (9.106) задачи о выпучивании упругого стержня с начальным прогибом:

 .

 Удовлетворяя решение (9.141) этому условию, получим:

 

и общее решение:

  (9.147)

При  имеем  и поэтому из (9.147) при получаем, что прогиб   ограничен и стремится к значению (рис. 9.46):

 .

 При  имеем  и поэтому из (9.141) при  получаем .

 Рис. 9.46

Процесс выпучивания во времени неограничен и, следовательно, неустойчив (рис. 9.47).

 При коэффициент , и из уравнения (9.140) получаем:

 

 При нагрузке  впервые процесс выпучивания стержня из материала с ограниченной ползучестью становится неустойчивым. Поэтому Р* названа длительной критической нагрузкой А.Р. Ржаницына.

3. Моменты инерции сечений

Осевые моменты инерции площади поперечного сечения бруса относительно осей z и y (рис. 2) определяются  формулами:

 (13)

  (14)

Полярный момент инерции площади поперечного сечения бруса относительно начала координат (полюса) (рис. 2) равен:

  (15)

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей z, y, то r2=z2+y2 (рис. 2) и из (13)-(15) будем иметь:

Ip=Iz+Iy (16)

Центробежный момент инерции площади поперечного сечения бруса относительно осей z и y (рис. 2) равен:

  (17)

Все моменты инерций измеряются единицами длины в четвертой степени (в сопротивлении материалов принято - см4). Осевые и полярные моменты инерций всегда положительны, а центробежный в зависимости от положения сечения относительно осей координат может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Центробежный момент инерции симметричной фигуры относительно осей, включающих хотя бы одну ось симметрии, равен нулю.

Пользуясь формулами (13)-(17) можно определить моменты инерции для простейших фигур.

А) Прямоугольник (рис. 10)

  (18)

 (19)

Izy=0

Б) Круг (рис. 11)

 (20) Iz=Iy » 0,05d4, (20а)

  (21) Ip » 0,1d4. (21а)

В) Кольцо (рис. 12)

 (22)   (22а)

 (23)   (23а)

где .

Устойчивость стержня, сжатого следящей силой Рассмотрим задачу о сжатии следящей силой, т.е. силой, которая при выпучивании стержня поворачивается так, что остаётся касательной к изогнутой оси на конце стойки. Такая сила может быть создана реактивной струёй ракеты.

Энергетический метод определения критических нагрузок Энергетический метод представляет собой один из способов определения критических нагрузок. Пусть согласно методу проб Эйлера сжатый силами Р стержень не вернулся в исходное состояние равновесия

Устойчивость упругого стержня в условиях неограниченной ползучести Ползучесть некоторых полимерных материалов в установившейся стадии является нелинейной и описывается при вязкоупругих деформациях законом


Практический инженерный метод расчёта на устойчивость Ф. Ясинского