Вычислить предел функции Найти производную функции Дифференциальные уравнения Вычислить интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

Практикум по решению задач

Дифференцируемые функции

1. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

2. Найти производную функции .

3. Найти производную функции

4. Найти производную функции

5. Найти производную функции

6. Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex; ;

7. Найти предел .

; ; .

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

8. Найти предел .

; ;

; ;

 

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычиления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Найти предел .

 — опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

;  — применяем правило Лопиталя еще раз.

;

Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

10. Найти предел .

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

11. Найти предел .

— получили неопределенность. Применяем правило еще раз. ;

Вычислить повторный интеграл .

Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром и плоскостью .

Задача.  Дана система линейных уравнений Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы. Выполнить проверку решения.

Задача Методом исключения неизвестных найти общее и базисное решение системы линейных уравнений 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Задача 6. Вычислить .

Задача 11. Вычислить .

Задача 15. Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей. Множителю   будет соответствовать сумма  множителю  - дробь .

Задача 18. Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Определить, какие ряды сходятся

Задача. Найти область сходимости функционального ряда

 


Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике