Вычислить предел функции Найти производную функции Дифференциальные уравнения Вычислить интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

Задача №3 Вычислить интеграл по контуру L:

Решение:

Изобразим график функции 

Определим производную этой функции:

 

Тогда:

  Ответ:

 

Задача №4 Вычислить интеграл  по контуру L, заданному параметрически.

определим производные функций:

  Согласно формуле:

Интеграл  примет вид:

Ответ:

 

Задача №5

При помощи формулы Грина вычислить интеграл:

 

Решение

Согласно формуле Грина:

, тогда:

;

  тогда:

;

применяя формулу Грина получим:

Полученный интеграл удобнее вычислять в полярной системе координат.

Тогда область  будет задаваться неравенствами:

Получим:

 

Ответ

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , .

▲ По заданным уравнениям поверхностей строим область W методом сечений (находим сечения тела координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им):  - парабола;   - парабола;  - окружность.

Следовательно,  - параболоид вращения. Область G (сечение параболоида плоскостью ) окружность

.

Перейдем к цилиндрической системе координат.

. ▼

Вычислить криволинейный интеграл  от точки  до точки : 1) по прямой линии , 2) по дуге параболы , 3) по дуге эллипса .

Вычислить двойной интеграл:  по области D, ограниченной линиями:

 

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями:

Вычислить двойной интеграл , когда область интегрирования D ограничена линиями y=2, y=x, y=1/x.

Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл:  по области D, заданной ограничениями .

Задача 1 (МЭСИ). На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ=4, АС = 2, ВАС = 120°.

Задача 3 (МАИ). В треугольнике ABC биссектриса, проведенная из вершины А, имеет длину 2, и АВ= 2АС. На стороне АВ взята точка М, а на стороне АС — точка N так, что BM=AN. Найдите наименьшее возможное расстояние от середины отрезка MN до вершины А. 

К кривой  в точках с абсциссами  и проведены касательные. При каком значении b периметр треугольника, образованного проведенными касательными и осью Oy, будет наименьшим?


Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике