Вычислить предел функции Найти производную функции Дифференциальные уравнения Вычислить интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

Вычислить предел функции: .

Решение. Так как пределы числителя и знаменателя при  равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . "Раскроем" эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель  (сокращать на  можно, потому что при нахождении предела мы считаем, что  ):

.

В полученной дроби знаменатель уже не стремится к нулю при , поэтому можно применять теорему о пределе частного:

. Ответ:

10. Вычислить предел функции: .

Решение. Здесь мы имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю (избавляемся от иррациональности в числителе):

Ответ: .

11. Вычислить предел функции: .

Решение. Так как  и , то

 .

Ответ: .

12. Вычислить предел функции: .

Решение. Так как , то

 .

Ответ: .

13. Вычислить предел функции: .

Решение. В данном случае мы имеем неопределенность вида .

Сделаем замену . Тогда  при  и .

.Т.к.  при , то

Воспользовались тем, что .

Ответ: .

Пределы Примеры решения заданий . Доказать, что  (указать ), где .

Вычислить предел: .

Вычислить предел функции: .

Исследовать функцию и построить ее график.

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

Интегрирование некоторых иррациональных функций. Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции. К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Найти полное приращение и дифференциал функции  в точке .

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(2,4,6).


Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике