Вычислить предел функции Найти производную функции Дифференциальные уравнения Вычислить интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

Дифференциальные уравнения

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки  где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение  получим

  или 

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим  откуда  

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Задача 27. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 

Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид  позволяет сделать замену  и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем

,

Уравнение примет вид

Разделяем переменные и интегрируем:

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде

Задача Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти  уравнения в полных дифференциалах

Задача. Указать вид частного решения дифференциального уравнения 

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Пример Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Вычислить или установить сходимость интеграл . По виду определяем, что это несобственный интеграл 1-го рода по полубесконечному промежутку.

Площадь фигуры заданной в параметрической форме. Найти площадь области ограниченной линией – графиком функции заданной в параметрической форме : x=a cos(t) , y=b sin(t), 0 £ t £ π/2 ( первая четверть эллипса) .Подставляем данные в формулу и результат сравниваем с ранее рассмотренной задачей.

Формула вычисления объема фигуры вращения, образованной вращением линии вокруг координатной оси.

Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл: ,  Где область 


Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике