Частотная модуляция и детектирование ЧМ-сигналов Исследование LC-автогенератора Трёхфазная четырехпроводная цепь Рассчитать мощность электродвигателя Сигналы с полосовыми спектрами Частотные свойства усилителей


Анализ параметрических цепей

Общие понятия о параметрических цепях

Электрические системы, в которых хотя бы один из параметров (R, L или C) является переменным во времени, называется цепями с переменными параметрами, называется цепями с переменными параметрами, или параметрическими цепями. Если параметры зависят только от времени и не зависит от режима работы (т.е. т i или U), система является линейной.

С помощью параметрических систем, в которых переменным является активное сопротивление, могут осуществляться, например, такие преобразования сигналов: детектирование, выпрямление, амплитудная модуляция, преобразование частоты и др.

В цепях с переменными реактивными элементами, способными запасать и отдавать энергию, при определенных условиях могут происходить усиление и генерация колебаний. Это связано с появлением в системе отрицательного сопротивления, описывающего формально физический процесс внесения энергии в колебательную систему за счет работы сил, изменяющих параметр. Появление отрицательного сопротивления свидетельствует о наличии параметрической регенерации колебаний данной частоты. Под регенерацией понимается процесс частотного восполнения (восстановления) теряемой в системе энергии.

Математическое описание процессов, происходящих в параметрических цепях, сводится к линейным алгебраическим или дифференциальным уравнением с переменными (во времени) коэффициентами. В силу линейности цепей, связь между входными и выходными сигналами в них определяется с помощью импульсной характеристики g(t) (метод интеграла наложения) или с помощью комплексной передаточной функции

Импульсная характеристика и передаточная функция параметрической цепи

Для определения импульсной характеристики g(t,), где  - время воздействия, t - время появления и действия отклика, непосредственно по заданным параметрам цепи необходимо использовать дифференциальное уравнение цепи.

Чтобы проанализировать методику нахождения g(t,), рассмотрим простую цепь, описываемую уравнением первого порядка

  (1)

где f(t) - воздействие, y(t) - отклик.

По определению импульсная характеристика является откликом цепи на одиночный дельта-импульс t), подаваемый на вход в момент t. Из этого определения следует, что если в правой части уравнения (1) положить f(t)=t), то в левой части можно принять y(t)=t).

Таким образом приходим к уравнению

  (2)

Т.к. правая часть (2) равна нулю всюду, кроме точки t, функцию g(t) можно искать в виде решения однородного дифференциального уравнения

  (3)

при начальных условиях, вытекающих из уравнения (2), а также из условия, что к моменту приложения импульса t) в цепи отсутствуют токи и напряжения.

В уравнении (3) переменные разделяются:

 

Откуда

  (4)

где  - значения импульсной характеристики в момент воздействия.

Для определения начального значения  вернемся к исходному уравнению (2). Из него следует, что в точке  функция g(t) должна совершить скачок на величину 1/а1(х), (см. рис.), поскольку только при этом условии первое слагаемое в уравнении (2), a1(t)[dg/dt], может образовывать дельта-функцию t).

Т.к. при  , то в момент

   (5) 

Заменяя в (4) неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом интегрирования, получаем соотношения для определения импульсной характеристики:

  (6)

Зная импульсную характеристику, нетрудно определить передаточную функцию линейной параметрической цепи, поскольку обе оси связаны парой преобразования Фурье:

  (7)

где a=t- - задержка сигнала. Функция g1(t,a) получается из функции  заменой =t-a.

Наряду с выражением (7) можно получить еще одно определение передаточной функции, в котором импульсная характеристика g1(t,a) не фигурирует. Для этого используем обратное преобразование Фурье для отклика SВЫХ(t):

  (8)

Для случая, когда входной сигнал является гармоническим колебанием S(t)=cost. Соответствующий S(t) аналитический сигнал есть .

Спектральная плоскость этого сигнала

Подставляя  вместо  в формулу (8), получаем:

 

Отсюда находим

  (9)

Здесь ZВЫХ(t) - аналитический сигнал, соответствующий выходному сигналу SВЫХ(t).

Таким образом, выходной сигнал при гармоническом воздействии

  (10)

определяется также, как и для любых других линейных цепей.

Если передаточная функция K(j,t) изменяется во времени по передаточному закону с основной частотой , то ее можно представить в виде ряда Фурье

  (11)

где  - не зависящие от времени коэффициенты, в общем случае комплексные, которые можно трактовать как передаточные функции некоторых четырехполюсников с постоянными параметрами. Произведение  можно рассматривать как передаточную функцию каскадного (последовательного) соединения двух четырехполюсников: одного с передаточной функцией , не зависящей от времени, и второго с передаточной функцией , изменяющейся во времени, но не зависящей от частоты входного сигнала.

Основываясь на выражении (11), любую параметрическую цепь с периодически изменяющимися параметрами можно представить в виде следующей эквивалентной схемы:

Откуда понятен процесс образования новых частот в спектре выходного сигнала

В соответствии с (9) аналитическй сигнал на входе будет равен

  (12)

здесь фазовые характеристики четырехполюсников  .

Переходя к вещественному сигналу на выходе, получаем

  (13)

Этот результат указывает на следующее свойство цепи с переменными параметрами: при изменении передаточной функции по любому сложному, по периодическому закону с основной частотой гармонический выходной сигнал с частотой образует на выходе цепи спектр, содержащий частоты  и т.д.

Если на входе цепи подается сложный сигнал, то все сказанное выше относится к каждой из частот и входного спектра. Разумеется, что в линейной параметрической цепи никакого взаимодействия между отдельными компонентами входного спектра не существует (принцип суперпозиции), и на входа цепи не возникает частот вида n m где  и  - различные частоты входного сигнала.

Умножение частоты

Детектирование АМ-колебаний Процесс, обратной модуляции, называется демодуляцией или детектированием.

Энергетика цепей с параметрическими реактивными элементами Рассмотрим процессы, происходящие в цепи, содержащей конденсатор, емкость которого является функцией приложенного напряжения. Как элемент радиотехнических цепей параметрических конденсаторов не существует. В качестве параметрического конденсатора обычно применяются нелинейные конденсаторы.


Генерирование колебаний в электрических цепях