Расчет электрических цепей постоянного тока Проведем анализ схемы Составить систему контурных уравнений Курс лекций по теории электрических цепей Четырехполюсники Нелинейные цепи Трансформатор Нелинейный конденсатор


Линии с распределенными параметрами

До сих пор мы исследовали электрические цепи, содержащие сосредоточенные параметры R, L, C. Для них можно считать, что электрическое поле сосредоточено в конденсаторе, а магнитное поле в катушке индуктивности. В случае, когда энергия преобразуется в тепло, то этот элемент представлен сопротивлением, однако на практике дело обстоит иначе. Преобразование электрической энергии в неэлектрические виды энергии также сосредоточено в отдельных элементах электрической цепи. Однако встречается ряд случаев, когда такое допущение становится неприемлемым. Критерием необходимости рассматривать цепь в качестве цепи с распределенными параметрами является соотношение между интервалом времени распространения электромагнитной волны вдоль всей длины цепи и интервалом времени, в течение которого токи и напряжения изменяются на величину, составляющую заметную долю от полного их изменения в рассматриваемом процессе. Для таких цепей напряжение и токи при переходе от одного участка цепи к другому являются в общем случае не только функциями времени, но и функцией координаты такой цепи. Классическими примерами таких цепей являются ЛЭП, рабочие линии связи, управления и т.д. Для определения токов и напряжений в данных цепях необходимо считать, что любой, сколь угодно малый участок цепи обладает некоторым погонным сопротивлением R0 , индуктивностью L0, активной проводимостью G0 и емкостью C0. Все это вместе - первичные параметры линии. Такую линию называют длинной линией. Если указанные параметры распределены равномерно вдоль всей линии, то она считается однородной, хотя, строго говоря, таких линий нет. В свете изложенного изобразим участок линии длиной dx, двигаясь от начала линии к концу.

Рис.3. Участок линии с распределенными параметрами

Поскольку мгновенные токи и напряжения являются функциями двух переменных, то введем в рассуждения частные производные:

  - это скорости изменения тока и напряжения в направлении координаты x;

 - это приращение тока и напряжения в направлении координаты x.

Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для узла:

Аналогичное уравнение составим для контура, выбрав направление обхода контура по часовой стрелке:

Раскрывая скобки, выполняя соответствующие преобразования и исключая производные второго порядка малости и сокращая все слагаемые на dx, получим следующую систему уравнений:

  (3.0)

Полученная система уравнений носит название телеграфной. При известных граничных и начальных условиях из этих уравнений можно определить значения u и i в любой момент времени и в любом сечении линии.

3.1. Работа линии в установившемся режиме

Если такая линия питается от источника синусоидального тока или напряжения, то в установившемся режиме эти напряжения и токи также синусоидальны. Переходя от мгновенных значений токов и напряжений к их комплексным изображениям, перепишем данную систему в следующем виде:

  (3.1.1)

Система содержит простые производные ввиду того, что комплексные изображения токов и напряжений не являются функциями времени, и количество переменных сократилось до одной. Это - координата длины линии, поэтому необходимость в частных производных отпала. Выполняя преобразования, можно представить систему в еще более компактном виде:

 (3.1.2)

где  - продольное сопротивление линии;

  - поперечная проводимость линий, причем

Решая систему (3.1.2) относительно напряжения или тока, получим соответствующие уравнения для тока и напряжения:

 (3.1.3)

, (3.1.4)

 

где  - постоянная распространения линии, является комплексным числом:

 ; (3.1.5)

А1 и А2 – неизвестные комплексные постоянные интегрирования, которые могут быть определены из граничных условий. Аналогичного рода рассуждения позволят записать уравнение для тока:

  . (3.1.6)

Введем понятие волнового сопротивления линии:

  (3.1.7)

Тогда 

 

Для дальнейшего анализа процессов, происходящих в длинных линиях, перейдем от комплексов напряжения и тока к их мгновенным значениям. Примем:

  (3.1.8)

Аналогичные рассуждения позволят записать и функцию тока:

  (3.1.9)

Полученные выражения показывают закон изменения тока и напряжения как функции времени и координаты длины линии. Каждое из выражений представлено двумя слагаемыми, которые представляют собой бегущие волны, движущиеся в направлении увеличения или уменьшения координаты x. Исследуем полученные соотношения на примере напряжения u(x,t) (рис.3.1.1) Пусть для некоторого момента времени t1 первое слагаемое напряжения обратится в ноль в начале линии, тогда закон распределения амплитуды вдоль длины будет иметь вид, представленный на рис. 3.1.1 в виде сплошной линии.

Рис.3.1.1. Падающая волна

Возьмем следующий момент времени t2 . Функция u(t) сместится и займет новое (пунктирное) положение. Движение волны происходит с некоторой фазовой скоростью VФ.

Рис.3.1.2. Отраженная волна

На рис. 3.1.2 аналогично представлена отраженная волна для двух моментов времени.

В реальности нет ни падающей, ни отраженной волны в линии, есть единый закон распределения токов и напряжений вдоль линии. Однако введение падающей и отраженных волн облегчает процесс расчета таких цепей. Все то же самое касается i(x,t), который также представлен суммой падающей и отраженной волны.

Схемы замещения пассивного четырехполюсника Ранее было установлено, что любой пассивный четырехполюсник однозначно характеризуется тремя независимыми коэффициентами.

Способы соединения пассивных четырехполюсников Существуют шесть видов соединения четырехполюсников. Покажем реализуемость их на нескольких примерах

Передаточная функция четырехполюсника Отношение комплексных амплитуд или комплексных действительных значений токов или напряжений на выходе к аналогичным величинам на входе называется передаточной функцией четырехполюсника. Вводится передаточная функция по напряжению и по току


Анализ нелинейных цепей