Закон сохранения импульса Кинетическая и потенциальная энергии Кинетическая энергия вращения Законы сохранения в механике Затухающие колебания


Физика курс лекций и лабораторных работ

Кинетическая и потенциальная энергии.

Полная механическая энергия Ем складывается из кинетической Ек и потенциальной Еп энергий Ем = Ек + .

Кинетическая энергия Ек – это движущегося тела, она равна работе, которую могло бы совершать тело при торможении до полной остановки Соответственно, эта работа численно работе внешней силы по увеличению скорости тела от 0 > т.е. Ек=Аразгона. Рассчитаем эту работу, учитывая, что работа внешней силы F над телом на малом участке перемещения dr равна (здесь использован второй закон Ньютона, соотношение  и законы дифференцирования)

.

Так как по определению >, то получаем .

Подпись:  
Рис.2.10. Зависимость потенциальной энергии тела от расстояния до поверхности Земли.

Если система состоит из n движущихся точек (тел), то ее полная кинетическая энергия равна

. Если система обладает только кинетической энергией, то изменение кинетической энергии тела равно работе сил, действовавших на тело во время движения                                               .

Потенциальная энергия Еп – это взаимодействия тел системы, определяемая взаимным расположением и характером сил между ними. - величина, зависящая от выбора начального положения, при котором т.е. она величина относительная. Если работу совершают консервативные силы, то происходит изменение системы на величину >. Конкретный вид зависимости Еп от расположения тел системы связан с характером сил взаимодействия тел.

Рассмотрим два примера:

Подпись:  Рис.2.11. Зависимость потенциальной энер¬гии упруго сжатой пружины от величины деформации.  1). Определим Еп тела, поднятого над землей т.е. энергию взаимодействия этого тела с планетой Земля. Известно, что на тело действует консервативная сила тяжести, при небольших высотах h она мало меняется и считается по формуле P = mg. При падении тела сила тяжести совершает работу A=mgh, при этом потенциальная энергия тела уменьшается ровно на эту величину. Если Еп1- потенциальная энергия тела, поднятого над землей, а Еп2 - потенциальная энергия тела на поверхности земли, которую принято считать равной нулю, то из связи работы и изменения энергии, получим . График зависимости Еп от h представлен на рис.2.10. Ясно, что Еп1>0 при h>0, т.е. над землей и Еп2<0 при h<0, т.е. ниже уровня земли.

2). Определим потенциальную энергию упруго деформированной пружины. Из экспериментов известно, что при сжатии (растяжении) пружины в ней возникает сила упругости >. Знак минус показывает, что сила упругости направлена в сторону противоположную деформации. Работа этой силы затрачивается на увеличение потенциальной энергии пружины т.е. A=DEп= Еп2- Еп1 . Так как dA=Fdx=kxdx, то   (Еп недеформированной пружины считается равной нулю). Следовательно , на рис.2.11 представлен ее график.

2.8. > 

 

Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы.

Так как работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии, то > или . Высшая математика позволяет выразить малое изменение любой функции (дифференциал функции) через частные производные от этой функции по ее аргументам. Конкретно для дифференциала потенциальной энергии, зависящей от координат, можно получить . Если подставить это выражение в , то после записи левой части через проекции силы на оси координат, получим

.

Это выражение должно быть справедливо при любых малых перемещениях dx, dy, dz, что может только тогда, когда выполняются соотношения >.

В результате получаем связь между Еп и F, в векторной форме ее записывают сокращенно виде 

где используют математический символ для вектора, который называется градиентом скалярной величины Еп и обозначается grad (Еп) >.

Закон сохранения и превращения энергии в механике

В 1748 г. М.В.Ломоносов сформулировал закон сохранения материи и движения. Через 100 лет Р.Майер Г.Гельмгольц дали количественную формулировку закона превращения энергии.

В замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела другому, но общее количество энергии остается неизменным. природе технике постоянно имеют место превращения другие. Например, электродвигателях электрическая переходит механическую, ядерном реакторе ядерная тепловую, затем механическую электромагнитную, при фотоэффекте - электромагнитная электрическую т.д. Однако следует иметь виду, что одновременно происходить несколько типов превращений энергии, например, обычно некоторая часть непременно превращается во внутреннюю (тепловую) энергию вещества (в теплового движения молекул). Но всегда общий запас системы любой момент времени остается Закон сохранения взаимопревращения является всеобщим законом природы, не имеющим исключений; если он как бы нарушается эксперименте, значит что-то учтено.

Закон сохранения механической энергии формулируется следующим образом: Если в замкнутой системе действуют консервативные силы, то механическая энергия не переходит в другие виды и остается постоянной во времени (при этом возможен переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот) .

Продемонстрируем действие этого закона на примере свободного падения тела.

Подпись:   Рис.2.12. Используемые в примере, направления для координат, скорости и ускорения свободного падения. 

Пример: Пусть тело массой m начинает падать вниз с высоты h.

Рассчитаем его механическую энергию в различные моменты времени. В начальный момент времени, верхней точке механическая энергия равна mgh (Ек =0 так как начальная скорость нулю).

Если не учитывать силы трения о воздух, то в любой следующий момент времени t координату и скорость тела можно рассчитать с помощью законов кинематики для равноускоренного движения ускорением свободного падения g (см. рис.2.12): z = h  ‑ gt2/2,  v  = ‑ gt. 

Механическая энергия в этот момент времени будет равна

Ем = Еп + Ек = mgz mv2/2 = mg(h – gt2/2) + m(gt)2 т.е. равна энергии в начальный момент времени. Отсюда видно, что механическая энергия не меняется со временем. Если же рассматривать и действие сил трения, то окажется, тела при движении уменьшается. Это объясняется частичным превращением ее во внутреннюю (тепловую) энергию воздуха самого тела.

Принцип реактивного движения. Уравнение движения тела с переменной массой.

Основные характеристики динамики вращательного движения. Для описания вращательного движения используются следующие параметры : момент инерции J, момент силы , момент импульса тела. Аналогами их в поступательном движении являются масса m, сила , импульс тела .

Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела. Найдем работу при вращательном движении твердого тела

Колебательными называются процессы в той или иной степени повторяющиеся во времени. Виды колебаний: Свободными колебаниями называются колебания, которые возникают в колебательной системе, в отсутствии внешних воздействий. Эти колебания возникают в следствии какого-либо начального наклонения колебательной системы от положения равновесия. Вынужденные колебания – это колебания, возникающие в колебательной системе под влиянием переменного внешнего воздействия.
Физика курс лекций и лабораторных работ