Закон сохранения импульса Кинетическая и потенциальная энергии Кинетическая энергия вращения Законы сохранения в механике Затухающие колебания


Физика курс лекций и лабораторных работ

Лабораторная работа 108

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ И ВРЕМЕНИ СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ШАРОВ

1. Основные законы механики

Законы сохранения в механике

В природе существует несколько законов сохранения; одни из них считают точными, другие - приближенными. Законы сохранения обычно являются следствием симметрии пространства и времени.

В механике же существует три закона сохранения, относящиеся к движению и взаимодействию материальных тел: закон сохранения импульса момента энергии. Мы рассматриваем эти законы в нерелятивистской области, которой справедливы преобразования Галилея. Все согласуются с принципом относительности

Законы сохранения не зависят от траектории и характера действующих сил. Они могут быть использованы в тех случаях, когда силы неизвестны, так, например, обстоит дело физике элементарных частиц.

Законы сохранения оказывают существенную помощь при решении задач: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы сохранения, только после этого, если в задаче ничего не упущено, переходят к решению дифференциальных уравнений движения.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона.

В случае взаимодействия двух тел А и изменение количества движения тела равно:  >, (1)

где fA - сила, действующая на тело А со стороны тела В, > - время, в течение которого действует сила fA. При этом предполагается, что сила fA постоянна в течение промежутка времени . Аналогично, изменение количества движения тела В равно:

. (2)

По третьему закону Ньютона >, время действия тела А на тело В равно времени действия тела В на тело А. Откуда:

. (3)

Следовательно,

. (4)

Полученное равенство справедливо и в случае переменных сил носит общий характер. Равенство (4) означает, насколько результате взаимодействия количество движения одного тела, увеличилось, настолько второго тала уменьшилось, т.е. произошла передача количества движения. Формулу можно переписать виде: > (5), т.е. при взаимодействии двух тел общее изменение их количества движения равно нулю, откуда следует, что их общее количество движения:  остается постоянным.

Этот результат может быть обобщен на любое число тел, образующих замкнутую систему, т.е. таких которые взаимодействуют друг с другом, но не ни какими внешними по отношению к системе телами. Полагая, что система состоит из n и обозначая, их количество движения соответственно через >, получим:

, (6)

т.е. полный вектор количества движения замкнутой системы, представляющий собой векторную сумму тел, образующих замкнутую систему, остается постоянным во все время движения.

Называя силы взаимодействия между телами системы внутренними силами, можно сказать; под влиянием внутренних сил система не может изменить своего полного количества движения. Под могут прийти в движение лишь отдельные части относительно друг друга.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса > материальной точки относительно произвольно выбранной точки в пространстве определяется векторным произведением:

. (7)

Вращающий момент, действующий на материальную точку относительно фиксированной точки, определяется выражением:  >. (8)

Дифференцируя выражение (7) по времени, получим:

. (9)

Принимая во внимание:

 (10)

и второй закон Ньютона > получим:

. (11)

Таким образом, приходим к важному выводу: >, (12)

т.е. скорость изменения момента импульса равна моменту вращения.

Если М=0, то > = пост. Момент импульса постоянен в отсутствие моментов вращения. Это утверждение составляет содержание закона сохранения момента импульса для материальной точки.

Этот результат легко распространить на систему из материальных точек. Для этого нужно разбить силы, действующие материальные точки, внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних внешних сил, действующих i-ю материальную точку обозначим через > и  соответственно. Тогда уравнение (12) для i-й материальной точки запишется в следующем виде:

 (i=1,2,3,…,N). (13)

Сложив аналогичные уравнения для всех материальных точек тела, получим:

 (14)

Величина > называется моментом импульса системы материальных точек.

Нетрудно показать, что сумма моментов внутренних сил равна нулю. Если обозначить сумму >  внешних сил буквой , то для системы точек получим выражение, которое по форме совпадает с (12):

. (15)

Для замкнутой системы материальных точек М=0 и суммарный момент импульса не зависит от времени. Таким образом, мы вновь пришли к закону сохранения момента импульса: остается постоянным.

Рассмотрим как систему материальных точек некоторое тело, которое может вращаться вокруг фиксированной оси Z. Момент импульса материальной точки относительно Z определим по формуле:

. (16)

 в виде трех составляющих:

 - параллельной оси Z,  - коллинеарной вектору  и

-перпендикулярной к плоскости, проходящей через ось Z и

вектор > (рис.1).

 Рис.1>

 суммой составляющих, получим:

 (17)

Здесь вектор > перпендикулярен к оси Z, поэтому его составляющая вдоль оси Z равна нулю, вектор  сам равен нулю в силу коллинеарности векторов  и .

Для системы материальных точек: >

Но >, поэтому:  (18)

(Здесь использовано условие, что векторы > и  взаимно перпендикулярны).

В выражении (18) >- момент инерции системы материальных точек (или тела) относительно оси Z. Следовательно,  (19)

Подставляя выражение (19) в (15), получим:  > (20)

Из этого выражения следует, что если сумма составляющих моментов внешних сил вдоль фиксированной оси равна нулю, то момент импульса системы материальных точек относительно этой не зависит от времени (сохраняется).

 (21)

Если со временем может меняться момент инерции тела, то угловая скорость вращения тела относительно данной оси тоже изменится. Но произведение их останется постоянным, которое для двух моментов времени можно записать так:

 (22)

Закон сохранения и изменения механической энергии

Предположим, что мы имеем замкнутую систему материальных точек, в которой действуют только консервативные силы. Состояние такой системы будет определяться ее конфигурацией и скоростями образующих систему. При переходе из состояния I состояние 2, силы, приложенные к материальным точкам, образующим систему, совершают работу, которую обозначим через А12. В каждом этих состояний система характеризоваться соответственными значениями кинетической энергии Ек1 Ек2 потенциальной Ер1, Ер2. Тогда работа может быть выражена двояким способом: разность кинетических энергий:

, (23)

или потенциальных энергий: >. (24)

Из этих равенств получим: >.  (25)

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной механической энергией Е: >. (26)

Тогда равенство (25) принимает вид: > (27), где Е1 и Е2 - полные энергии системы в состояниях I и 2.

Таким образом, получаем, что полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, остается постоянной.

При переходе из одного состояния в другое могут меняться кинетическая и потенциальная энергии, взятые отдельности, но их сумма остается постоянной.

Следует всегда помнить, что закон сохранения механической энергии замкнутой системы только тогда имеет место, когда силы, действующие в системе, являются консервативными.

При наличии не консервативных сил, например, сил трения, сумма кинетической и потенциальной анергии системы будет оставаться постоянной.

Рассмотрим незамкнутую систему и допустим, что среди внутренних сил имеются силы трения. При этом ограничимся учетом только механических явлений. Разобьем все силы, действующие на материальные точки, три группы:

1) силы консервативные внутренние,

2) силы трения (внутренние неконсервативные),

3) внешние. вызванные воздействием со стороны тел, не входящих в систему.

Тогда равенства (23) к (24) разобьются на соответственные части:

, (28)

. (29)

Из этих равенств получаем: > (30)

или: >  (31)

Значит, изменение полной механической энергии системы равно сумме работ внешних сил и трения.

Заметим, что работа сил трения всегда отрицательна. Поэтому сила обуславливает уменьшение полной механической энергии системы.

Виды ударов и их характеристики Принадлежности: электромеханическая установка для центрального соударения шаров.

Ознакомление со сложным движением твердого тела, совершающего вращательное движение одновременно с поступательным перемещением на примере движения маятника Максвелла. Экспериментальное определение момента инерции и сопоставление его теоретически рассчитанным значением.

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени. При периодических колебаниях изменение наблюдаемой величины точности повторяется через совершенно определенное время - период

Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение. Представим себе цепочку, состоящую из равноотстоящих друг от друга ма-териальных точек, которые связаны пружинками и могут движения, деформируя пружинки. Если сместить от положения равновесия какую-либо частицу, то она начнет совершать колебательное движение и, взаимодействуя через пружинки, вовлечет в колебания соседние частицы
Физика курс лекций и лабораторных работ