Закон сохранения импульса Кинетическая и потенциальная энергии Кинетическая энергия вращения Законы сохранения в механике Затухающие колебания


Физика курс лекций и лабораторных работ

Момент инерции.

Момент инерции материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение массы этой на квадрат расстояния от ее оси:

Эта величина скалярная. Единица измерения - кг·м2. В динамике вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса в поступательного движения; определяет величину углового ускорения, получаемого телом под действием данного момента силы.

Момент инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

,

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного >цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра  (так как , то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm – масса всего элементарного цилиндра; его объем . Если ρ – плотность материала, то и . Тогда момент инерции сплошного цилиндра

,

но так как > - объем цилиндра, то его масса , а момент инерции

.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: J произвольной равен моменту JC масс С тела, сложенному с произведением массы m на квадрат расстоянии а между осями:

В заключение приведем значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).>

Тело

Положение оси

Момент инерции

Полый тонкостенный цилиндр радиусом R

Ось симметрии

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

Ось симметрии

Прямой тонкий стержень длиной l

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

Прямой тонкий стержень длиной l

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец

Шар радиусом R

Ось проходит через центр шара

Рассмотрим абсолютно твердое тело (абсолютно твердое тело – тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или вернее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.), вращающееся около неподвижной оси, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m1, m2,…, mn, находящиеся на расстоянии r1, r2, …, rn от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mi опишут окружности различных радиусов ri и имеют различные линейные скорости vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение >, получаем

,

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Если сравнить формулы >  и  для кинетической энергии тела движущегося поступательно, следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Выведенная формула  справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например, цилиндра скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, или движение маятника Максвелла (лабораторная работа 109), энергия складывается из энергии поступательного и вращения:

,

где m - масса катящегося тела;

vC – скорость центра масс тела;

JC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс;

ω – угловая скорость тела.

Момент силы

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора  , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу :

Здесь > - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к .

Модуль момента силы

где α – угол между >  и ;

- кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила  приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, α – угол между направлением силы и радиусом-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь   и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Учитывая >, можем записать

,

где > - момент силы относительно неподвижной оси. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличении его кинетической энергии: >, но , поэтому , или .

Учитывая, что >, получаем

.

Это уравнение представляет собой динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной изменяется и угловая. Поэтому можно ввести понятие углового ускорения.

Величина момента инерции определяется не только массой тела, но и распределение той же массы относительно оси вращения. Одно то тело может иметь различные моменты разных осей, а тела различной при определенном распределении масс в них могут одинаковые инерции.

Ознакомиться с элементами теории крутильных колебаний твердого тела и методикой измерения моментов инерции твердых тел помощью крутильного маятника. Приобрести навыки работы крутильным маятником.

Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение. Представим себе цепочку, состоящую из равноотстоящих друг от друга ма-териальных точек, которые связаны пружинками и могут движения, деформируя пружинки. Если сместить от положения равновесия какую-либо частицу, то она начнет совершать колебательное движение и, взаимодействуя через пружинки, вовлечет в колебания соседние частицы
Физика курс лекций и лабораторных работ