Закон сохранения импульса Кинетическая и потенциальная энергии Кинетическая энергия вращения Законы сохранения в механике Затухающие колебания


Физика курс лекций и лабораторных работ

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие событиям массового характера.

Случайным называют событие, наступление которого нельзя достоверно предвидеть. В одних и тех же доступных наблюдению условиях оно может произойти или не произойти.

В основе теории вероятностей лежит закон больших чисел (теорема Чебышева), утверждающий, что при достаточно большом числе случайных событий их средний результат теряет свою случайность и может быть предсказан с достаточной точностью.

Закономерности, которым подчиняются массовые случайнее явления, называются статистическими, они имеют объективный

- 9

Характер, присущий всем явлениям внешнего мира.

Количественной оценкой возможности осуществления случайного события является его вероятность. Согласно классическому определению, вероятностью Р (А) некоторого А называемся отношение числа случаев m, благоприятствующих появлению к полному числу равновозможных n , т.е.

 mn (6)

Например, пусть бросается кубик, грани которого занумерованы числами 1,2,3,4,5,6. Какова вероятность выпадения номера 2? Из соображения симметрии следует, что n=6, а m=I. Следовательно, события Р (2) =1/6.

Существует другой способ оценки вероятности случайного события - оценка при помощи опыта. Основной характеристикой является относительная частота > его появления в определенных условиях, т.е. отношение числа m случаев, при которых данное событие произошло, к общему числу n наблюдений (возможных случаев), если последнее достаточно велико. Опыт показывает, что частота появления случайного события является более или менее устойчивой при различных сериях наблюдений. Например, при одном бросании кубика (единичное событие) выпадение определенного числа (2) будет событием случайным. Однако если опыт повторить много раз и учесть общее число бросаний n и число выпадений номера (2) (m). то относительная частота появления этого события  будет близка к 1/6, т.е. .

Согласно статистическому определению, вероятностью события А называется предел, к которому стремится относительная частота при неограниченном увеличении числа испытаний

 (7)

Вероятность произвольного события заключается между нулем и единицей >.

Случайные величины

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от тех или иных, не поддающихся учету обстоятельств может принимать различные численные значения.

К таким величинам относятся, например, скорость хаотического движения молекулы газа, число радиоактивного распада атомов за данный промежуток времени, ошибка измерения физической величина и т.п.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Дискретной называется случайная величина,

принимающая  только отдельные числовые значения (например, число молекул в данный момент некотором элементе объема газа, результаты отдельных измерений Х и т.п.)

Для того, чтобы полностью охарактеризовать случайную дискретную величину, надо перечислить все ее возможные значения и их вероятности. Зависимость между значениями случайной величины Х вероятностями

Р(X) представляет закон распределения вероятностей случайной дискретной величины или просто распределение. Она обычно задается в виде таблицы.>

При этом сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице:

X

X1

X2

X3

Xn

P(X)

P1

P2

P3

Pn

 (8)

В примера с кубиком занумерованными гранями случайная величина может иметь только шесть значений (граней) равными вероятностями > и следовательно,

 

Параметры распределения случайных величин

Законы распределения являются полными характерис-тиками случайных величин. Но они не всегда удобны для практики. На практике чаще случайную величину характеризуют определенными числовыми параметрами, связанными с законом ее распределения. Основные из них: математическое ожидание и дисперсия. Математическим ожиданием М (X) случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений на их вероятности:

 (9)

Определение математического ожидания требует знания закона распределения вероятностей. Если он не выявлен, то вычисляют среднее арифметическое значение случайной величины X, т.е.

 (10)

Согласно закону больших чисел :

 (11)

Таким образом, математическое ожидание М(х) является центром распределения вероятностей случайной величины Х и оценивается одним числом, т.е.

Отдельные значения случайной величины группируются около математического ожидания как центра (см.рис.I). Степень рассеяния или разброса этих значений характеризуют величиной, называемой дисперсией D(х) величины.

Дисперсией D(х) называют математическое ожидание квадрата отклонений возможных значений случайной величины от ее математического ожидания:

 (12)

Таким образом, дисперсия предcтавляет средний квадрат отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Формулу (12) можно выразить через средние в удобной

для вычислений форме:

 (13)

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Поэтому для сопоставления и оценки рассеяния возможных значений величины около математического ожидания вводят понятие среднего квадратичного отклонения, имеющего в отличие от дисперсии такую же размерность, как случайная величина.

Средним квадратичным отклонением σ случайной величины называют корень квадратный из дисперсии:

 (14)

В теории ошибок σ называют средней квадратичной ошибкой.

Непрерывные случайные величины К непрерывным случайным величинам относятся такие случайные величину, которые могут принимать любые значения в некотором интервале числовой оси. Примером может служить результат измерения, записанный на самописце, мгновенные скорости теплового движения молекул газа и т.п

Интеграл вероятностей

Выборочной метод

С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий, т.к. в этом случае возникают вибрации, которые могут вызвать катастрофу. Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т.д.
Физика курс лекций и лабораторных работ