Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов Неопределённый интеграл Интегрирование по частям Декартовы координаты Вычисление объёма тела

Математика ТФКП примеры решения задач

Вычисление вычетов

Вычетом функции f( z) в конечной изолированной особой точке a называется число

,

где C-окружность достаточно малого радиуса с центром в точке a, пробегаемая против часовой стрелки. Вычет в бесконечности ( ¥-изолированная особая точка) определяется по формуле

,

где C- -окружность достаточно большого радиуса, пробегаемая по часовой стрелке. Вычет функции f( z) в конечной изолированной особой точке a равен коэффициенту с-1 в разложении функции f( z) в ряд Лорана при ( z- a)-1

.

Вычет функции f( z) в изолированной особой точке ¥ равен коэффициенту -с-1 в разложении функции f( z) в ряд Лорана при z -1

.

Если у аналитической функции f( z) имеется лишь конечное чисто изолированных особых точек, то сумма вычетов в этих точках, включая вычет в ¥ равна нулю.

Если a – полюс порядка n функции f( z), то

.

В случае полюса первого порядка формула имеет вид

.

Пример 1. Найти вычет функции относительно всех изолированных особых точек (и.о.т.).

Решение. Функция имеет два полюса второго порядка в точках i и – i. В ¥ имеется устранимая особенность.

. Аналогично . Из формулы для суммы вычетов следует, что .

Пример.

 

;

;

.

Пример.

;

;

;

.

Найти вычет функции относительно всех изолированных особых точек.

Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.


Двойной интеграл в полярных координатах