Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика ТФКП примеры решения задач

Интегральная формула Коши. Пусть w = f(z) аналитична в области D и L - замкнутая кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в D вместе с областью D1, которую она ограничивает. Тогда для каждой точки  имеет место формула 

.

  Доказательство. Заметим, что в этой формуле функция в точке z0 портится как раз введением множителя . Доказательство очень похоже на доказательство того, что . Мы окружим точку z0 окружностью  радиуса   столь малого, что на  f(z) мало отличается от f(z0): , тогда . Более строго, возьмём  столь малым, что окружность  радиуса  с центром в f(z) лежит в D1. Функция w = f ( z) аналитична в двусвязной области, заключенной между L и , поэтому (следствие из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области) . Распишем последний интеграл:  . Второй интеграл здесь равен . Первый интеграл а). не зависит от  ( действительно, подынтегральная функция аналитична в области между  и , где  - окружность радиуса , и по тому же следствию из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области ; б). .  Из этих утверждений а) и б) следует, что первый интеграл .

 Докажем утверждение б). Обозначим , при этом, вследствие непрерывности функции, . Оценим  по модулю (учитывая, что ):  . Утверждение доказано. Доказана и интегральная формула Коши: .

След. Если дуги  и соединяют точки А и В и, при этом дуга  обходится в направлении от А к В, а дуга  обходится в направлении от В к А, то

Док-во:

.

Зам. Для аналитической функции важны лишь начало и конец дуги.

Сформулируем несколько следствий из доказанной теоремы. Значения аналитической в некоторой области функции полностью определяются её значениями на границе этой области.

Ряды Тейлора и Лорана

Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений

Решение задач на разложение функций в ряд Тейлора .

Интегральная формула Коши. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Записать разложение по степеням z функции f ( z) = ch z.


Вычисление двойного интеграла