Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика ТФКП примеры решения задач

Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

19.4.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z1, z2, z3, …, zn, … .Действительную часть числа zn будем обозначать an, мнимую - bn

(т.е. zn = an + i bn, n = 1, 2, 3, …).

Числовой ряд - запись вида .

Частичные суммы ряда: S1 = z1, S2 = z1 + z2, S3 = z1 + z2 + z3, S4 = z1 + z2 + z3 + z4, …, 

Sn = z1 + z2 + z3 + … + zn, …

Пример Найти интеграл Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель на множители:

Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут S = z1 + z2 + z3 + … + zn + … или .

Найдём действительные и мнимые части частичных сумм:

Sn = z1 + z2 + z3 + … + zn = (a1 + i b1) + (a2 + i b2) + (a3 + i b3) + … + (an + i bn) = (a1 + a2 + a3 +…+ an) +

, где символами  и  обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями. На этом утверждении основан один из способов исследования сходимости рядов с комплексными членами.

Функции комплексного переменного

Опр. Если даны множества М и G на комплексной плоскости и каждому z из M соответствует w из G, то говорят, что  функция .

Опр.  ;

    

Опр. (1) - степенной ряд.

Утв. Ряд (1) сходится внутри круга  и расходится вне его. При он сходится равномерно.

Исследовать на сходимость ряд .

Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами: Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .

Степенные комплексные ряды .

Элементарные функции комплексной переменной .

Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , .


Вычисление двойного интеграла