Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика ТФКП примеры решения задач

Примеры вычисления производных.

Выше мы доказали, что функция f(z) = z2 имеет производную, равную 2z, в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши-Римана. Так как

w = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2 ixy, то . Тогда .

Для функции w = e z мы получили u(x, y) = e z cos y, v(x, y) = e z sin y. Поэтому , т.е. функция дифференцируема. .

Геометрический смысл производной. Равенство   означает, что , где . Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Будем писать , пренебрегая слагаемым высшего порядка малости. Пусть в точке z существует . Возьмём точки z и ; пусть w = f(z), тогда . таким образом,  в  больше ,  больше  на для любого  (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Следовательно, в окрестности любой точки z, в которой , отображение  действует следующим образом: любой вектор  растягивается в  раз и поворачивается на угол .

Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части.

Опр. Функция  называется гармонической в области G, если в этой области выполняются условие:

 

Утв. Если функция аналитическая, то ее действительная и мнимая части – гармонические функции.

Док-во:

  ;

 ;

т.к. , складывая эти равенства, получаем , т.е.

u – гармоническая функция. Аналогично v - гармоническая функция.

Доказано.

Производная функции комплексного переменного определяется, как и производная в действительной области

Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей u( x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z) и выполняется условие Коши-Римана:

Конформность дифференцируемого отображения

Гармоничность действительной и мнимой частей дифференцируемой функции

Может ли функция v(x, y) = e -y(xcos x - ysin x) быть мнимой частью некоторой аналитической функции w = f(z)? В случае положительного ответа найти функцию w = f(z).

Конформные отображения

Исследовать на конформность в точке z= ¥ функцию w=iz-2.

Найти угол в ¥ между действительной и мнимой осями.


Вычисление двойного интеграла