Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов Неопределённый интеграл Интегрирование по частям Декартовы координаты Вычисление объёма тела

Математика ТФКП примеры решения задач

Задание. Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) , ;

б) , .

Решение.

а) Функция  имеет две особые точки  и . Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке , проходящие соответственно через точки  и . Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функция  является аналитической:

1);

2) кольцо ;

3) область , являющаяся внешностью круга .

Найдем ряды Лорана для функции  в каждой из этих областей, используя формулу

  (1)

справедливую при .

Представим функцию  в виде суммы элементарных дробей:

.

1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби  и  в виде , где  при . Представим функцию  следующим образом: . Теперь к таким дробям применима формула (1).

Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) . Так как  и тем более  (если , то тем более ), значит, в силу формулы (1) .

Следовательно, ==

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то  и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

В рассматриваемой области , значит  и поэтому

.

Функцию  представим в виде . В силу полученных разложений имеет место равенство

=.

Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.

б) Функция  имеет 2 особые точки  и , отметим их на плоскости Z. Точка  совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке , проходящую через точку .

Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция   является аналитической:

1) кольцо

2) кольцо

Найдем ряды Лорана для функции  в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функцию  в виде суммы элементарных дробей:

1) Требуется получить разложение функции  по степеням z–1 в области . Первая дробь уже представляет собой степень . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену , тогда  и . Дробь  разложим по степеням  как в предыдущем примере. При  воспользуемся представлением:

;

Сделаем обратную замену. Получим, что при  функция  представима в виде

.

Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.

2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дроби  в области  

Сделав обратную замену, получаем, что при  функция  представима в виде:

.

В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.

Для функции  найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

Вычислить интегралы от функции комплексного переменного: , где  - отрезок прямой, , .

Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах: ;

Вычислить интегралы с помощью вычетов. ;


Двойной интеграл в полярных координатах