Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Задачи на двойной интеграл.

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры  (в декартовых координатах) и  (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному. Примеры:

1. Пусть область . Представить двойной интеграл по области D в виде повторных. Перейти к полярным координатам.

Решение. Область изображена на рисунке справа. Для левой части D ; для правой -  (уравнение правой полуокружности после выделения полных квадратов принимает вид ), поэтому

. Производные и дифференциалы высших порядков Частные производные высших порядков Пусть функция z =f(x,y) задана на области G. Пусть на G существуют частные производные  и . Они называются частными производными первого порядка функции f .

D можно также oписать неравенствами , поэтому . В полярных координатах уравнение левой четверти окружности имеет вид  для   (можно взять и отрезок ), правой полуокружности  для  (можно взять и отрезок ), поэтому .

. Изменить порядок интегрирования, перейти к полярным координатам.

Решение. Область D - объединение трёх подобластей:  . На рисунке изображена область и приведены уравнения прямых и обратных функций для линий, ограничивающих её. D можно представить в виде , поэтому . В полярных координатах D представляется как объединение двух треугольников OCB и OBA. Уравнение прямой ОС:   (можно получить и формально, перейдя к полярным координатам в её уравнении:  ), прямой ОВ: , прямой СВ:  , прямой ОА: , прямой АВ:  . В результате  .

Формула Остроградского-Гаусса

Теорема. Пусть  - замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело  в пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона . Пусть  - функции, имеющие непрерывные производные на . Тогда . Равносильная формулировка: , где  - внешняя нормаль к .

Доказательство. Предположим, что  ограничено сверху  - графиком функции , снизу  - , , а сбоку – цилиндрической поверхностью .

Вычислим   , т.к. на  внешняя нормаль составляет с осью  тупой угол.

Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры  (в декартовых координатах) и  (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному.

Этот пример проще решается по второй формуле


Вычисление двойного интеграла