Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл.

Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.

 Аналогично определяется область, простая (правильная) в направлении оси Ox: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oх, пересекает границу D в двух точках.

 Область, правильную (простую) в направлении обеих осей, будем называть правильной. Написать матрицу, транспонированную данным:


Ограниченную замкнутую область D, правильную в направлении оси Oy, можно описать неравенствами . Числа a и b существуют вследствие ограниченности области D, функция  образована нижними точками пересечения прямой x = x0 при  с границей области D, функция  - верхними точками пересечения этой прямой с границей области D. [an error occurred while processing this directive]

 Аналогичным образом область D, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси Oх, можно описать неравенствами . Функция  образована левыми точками пересечения прямой y = y0 при  с границей области D, функция  - правыми точками пересечения этой прямой с границей области D.

 Для правильной области (т.е. области, правильной в направлении обеих осей) существуют оба способа представления: и , и .

Двукратный (повторный) интеграл. Пусть D - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от   до  получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:

.

Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:

Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь областиD: ;

Следствие 1. Если поверхность  допускает представление как в виде , так и в виде  и в виде , то при условиях теоремы 1  , где выбор знака + или – перед соответствующим слагаемым в правой части равенства определяется тем, какой угол составляют нормали к выбранной стороне с соответствующей осью.

Следствие 2. Если  представляет собой конечное объединение непересекающихся поверхностей, , каждая из которых удовлетворяет условиям следствия 1, то   и для вычисления  используется следствие 1.

Двукратный (повторный) интеграл. Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному

Теорема о замене переменных в двойном интеграле.


Вычисление двойного интеграла