Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то  - объём прямого цилиндра с основанием Di высоты f(Pi); вся интегральная сумма  - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью Di, равна f(Pi)). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью D, сверху - поверхностью z = f(x, y), с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области D, а образующие параллельны оси Oz. Двойной интеграл  равен объёму этого тела.

Свойства двойного интеграла.

Линейность. Если функции f(x, y), g(x, y) интегрируемы по области D, то их линейная комбинация  тоже интегрируема по области D, и  .

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство   . Переходя к пределу при  и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе 4.4.6. Арифметические действия с пределами (конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.

Обратно, выбор положительного направления обхода контуров на поверхности задает выбор стороны этой поверхности.

Вычислить периметр единичной окружности. Решение. Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат на 4.

 

Если поверхность состоит из нескольких частей, каждая из которых – двусторонняя поверхность, то можно соединить эти части в одну двустороннюю поверхность, согласовав ориентацию общих границ.

Например, в случае двух частей ориентация будет согласованной, если положительное направление движения по общей границе происходит от  на поверхности  и от  на .

Это замечание позволяет говорить о внешней стороне замкнутой поверхности.

Например, для сферы:

 - верхняя полусфера, внешняя нормаль составляет острый угол с осью .

 - нижняя полусфера. Внешняя нормаль составляет тупой угол с осью .

 и  вместе составляют внешнюю сторону сферы. При этом положетельные направления обхода “экватора” противоположны друг другу на  и на .

Аддитивность

Теоремы об оценке интеграла


Вычисление двойного интеграла