Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Двойной интеграл.

 Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).

Разобьём область D произвольным образом на n подобластей D1, D2, D3, …, Dn, (не имеющих общих внутренних точек). Символом s(Di) будем обозначать площадь области Di; символом diam(D)здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D:

;

символом d обозначим наибольший из диаметров областей Di: .

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

 

В каждой из подобластей Di (i = 1,2, …, n) выберем произвольную точку Pi = (xi, yi), вычислим в этой точке значение функции f(Pi ) = f (xi, yi), и составим интегральную сумму .

 Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти Di, ни от выбора точек Pi, то функция f(x, y) называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается .

 Если расписать значение f(P) через координаты точки P, и представить ds как ds = dx dy, получим другое обозначение двойного интеграла: . Итак, кратко, .

 Теорема существования двойного интеграла. Если подынтегральная функция f(x, y) непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области.

Нормаль к поверхности является нормалью к касательной плоскости и перпендикулярна  и . Условие  означает, что  и  не параллельны. Поэтому в качестве нормального вектора можно взять  (векторное произведение) или . Тогда единичные векторы нормали равны , при этом выбору верхней нормали соответствует выбор того же знака, что и знак числа , перед корнем (поскольку тогда ).

Выбор стороны поверхности задает ориентацию контуров, которые на ней лежат. Считаем, что контур обходится в положительном направлении, если “обходчик”, держащий “голову” в нормальном к поверхности положении видит ограничиваемую контугом часть поверхности слева от себя.

Отрицательное направление противоположно положительному.


Вычисление двойного интеграла