Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Тригонометрические подстановки для интегралов вида .

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен, мы уже рассматривали некоторые методы интегрирования таких функций. Здесь мы рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральнуюфункцию к функции, рационально зависящей от  и . После выделения полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной) интеграл сводится, в зависимости от знаков   и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов: , , . Далее:

  рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t). Мы применяли эту подстановку в разделе 10.5. Замена переменной в неопределённом интеграле.

  рационализируется подстановкой   (или , или ).

  рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t, или

x = a sh t).

 Примеры: 1. . Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t ( это можно установить только пробой!). , поэтому

. Ответ можно записать поизящнее. По школьным формулам  , поэтому .

2.

.

Интегралы вида , где a, b, c, d - постоянные, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в предыдущем разделе, рационализируются подстановкой . Пример:

.

Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.

Теорема. Пусть  задана следующими неравенствами: , .  - квадрируемая область на плоскости,  - непрерывные. Тогда

Замечание. Если область  задана неравенствами , где  - непрерывные функции, то

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема. Пусть отображение  устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями  и , причем функции  - непрерывно дифференцируемые и  ни в одной точке . Пусть  - непрерывная на  функция. Тогда

Как и для двойного интеграла, теорема остается верна в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.

Несобственные интегралы.

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при  удовлетворяют неравенствам .

. На всём промежутке интегрирования ; интеграл  сходится (), поэтому исходный интеграл сходится

Признак сравнения в предельной форме

Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости.


Вычисление двойного интеграла