Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование простых дробей. Определение рациональных функций и простых дробей: Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;

II. ;

III. , ;

IV.  , .

Интегралы от дробей первых двух типов - табличные интегралы:

интегрирование дробей III и IV типов рассмотрено в 10.7. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен.

Интегрирование рациональных функций. Алгоритм вычисления интегралов от рациональных функций, т.е. интегралов вида

заключается в следующем (см. раздел 9.3. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей):

1. Если дробь  неправильна, её интегрирование сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Для этого она представляется в виде , n1<m; нахождение целой части Ln-m(x) и остатка Pn1(x) может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". Дальше рассматривается интегрирование правильных дробей.

 2. Знаменатель Qm(x) правильной дроби представляется в виде произведения

, где x1, x2, …,xs - попарно различные действительные корни этого многочлена, k1, k2, …,ks - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней  кратностей l1, l2, …,lr)  с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), k1+ k2+ …+ks +2(l1+ l2+ …+lr) = n.

 3. Выписывается представление дроби в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:

.

 4. Правая часть разложения приводится к общему знаменателю. Общие знаменатели слева и справа сокращаются, и из условия равенства числителей составляется система линейных уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов. Применяются два способа:

 4.1. Способ частных значений. В равенство подставляются различные значения  и таким образом составляют уравнения системы. В первую очередь берутся корни Qm(x); если все корни знаменателя - различные действительные числа, будут найдены все неопределённые коэффициенты.

 4.2. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях  многочленов слева и справа от знака равенства. При этом количество уравнений обязательно будет равно количеству неопределённых коэффициентов.

  4.3. Комбинированный способ. Некоторые коэффициенты определяются по частным значениям, для нахождения остальных составляются уравнения по способу 4.2.

Поэтому интегральная сумма  равна объему тела, состоящего из цилиндров с высотой  (для простоты считаем, что ) и основаниями - .

Определение. Пусть  - ограниченная на квадрируемом множестве  функция. Пусть . Если  , то будем говорить, что  - интегрируемая на  функция и .

Замечание. Это определение несколько отличается от одномерного, в котором отсутствовало требование ограниченности функции . Мы тогда доказывали необходимое условие интегрируемости: если  интегрируема на , то  ограниченна на .

В двумерном случае мы накладывали это требование для того, чтобы избежать ненужных сложностей.

Критерий существования  формировался в терминах сумм Дарбу вида , где , т.е.  - нижняя грань, а  - верхняя грань значений  при .

Нижняя сумма Дарбу

Верхняя сумма Дарбу

Примеры

Интегрирование функций, рационально зависящих от .

Частные тригонометрические подстановки

Интегрирование произведения чётных степеней sin x, cos x.


Вычисление двойного интеграла