Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Замена переменной в неопределённом интеграле

Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):

.

Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных ():

.

  Примеры:

.

.

Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде :

.

  Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:

 10.6.1. Интегралы вида , , , где Pn(x) - многочлен n-ой степени. Так, для  имеем ,  , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.

Пример. Переход к полярным координатам.

Пусть требуется посчитать  по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке  соответствует целый отрезок  на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Интегралы , где  - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x)

Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением

Техника нахождения неопределённых интегралов в теории функций комплексной переменной в основном та же, что и в математическом анализе; таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова, поскольку одинакова таблица производных

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой

Вычислить интеграл image114 (226 bytes)

Вычислить интеграл C-верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 10.

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен . Интегралы вида  () с помощью той же операции (выделение полного квадрата) приводятся к одному из табличных интегралов

Интегралы вида  () берутся с применением той же техники

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)l - верхняя полуокружность | z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Вычислить интеграл ,если 3 i лежит внутри контура C, а точка –3 i вне его.

Вычислить интеграл из примера 1, если контур C представляет собой окружность с центром в начале координат и радиуса 4.

Вычислить интеграл , если точка 0 лежит внутри контура C, а точка 1 вне контура C.

Вычислить интеграл из примера 4 если обе точки 0 и 1 лежат внутри контура C.


Вычисление двойного интеграла