Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).

 Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.

  Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что . Заменим независимую переменную t на функцию t = t(x): . Следовательно, функция F(t(x)) является первообразной для произведения , или .

 При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.

1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя  под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например,  (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от );  (задача сведена к вычислению , где t = sin x) . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз:  (самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель (arcctg4 x2) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций arcctg x2 и x2 по своим аргументам)  

.

Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в  имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате   (возвращаемся к исходной переменной) . Другие примеры:

. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись:  =  .

Рассмотрим  (интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену:  (или , ):

. Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие  и  через косинус двойного угла: .

Поэтому

.

  Искусство интегрирования в основном заключается в умении видеть необходимые подстановки; оно, как и любое другое искусство, вырабатывается упражнениями. Для основных классов функций требуемые подстановки будут изучаться дальше, здесь мы покажем, с помощью каких преобразований были выведены формулы 17, 15, 20 Таблицы 10.3.неопределённых интегралов:


17. .

15.

.

20.

. Второй интеграл элементарно сводится к первому: .

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных , где  - непрерывны в некоторой области . Впоследствии мы будем часто писать просто  вместо  и т.п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что  и  - непрерывно дифференцируемые в  функции.

Пусть при этом формулы  задают взаимно-однозначное отображение областей: . Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области   не равнялся 0.


Вычисление двойного интеграла