Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Неопределённый интеграл.

Первообразная функция.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .

 Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Первообразная определена неоднозначно: для функции  первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10: . Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим

 Свойства первообразной.

Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во: ).

Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

Док-во. Так как функции F(x) и F1(x) - первообразные для f(x), то (по теор.8.1. условие постоянства дифференцируемой функции на интервале) .

Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx.

Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Аналогично, обозначим, для ограниченной на  функции  ,  (эти числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности  на  и, значит, на всех ) и определим суммы Дарбу равенствами . Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями  и высотами, соответственно . Ясно, что при любом выборе  .

Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий интегрируемости.

Теорема. Ограниченная  интегрируема на квадрируемом  

Из этого критерия следует теорема.

Теорема. Если  непрерывна на квадрируемом множестве , то  интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Найти интеграл .

Найти интеграл . Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Найти интеграл .

Найти интеграл . Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

 Найти интеграл  . Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются .

Найти интеграл . Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:


Вычисление двойного интеграла