Математика Примеры решения задач курсовых и контрольных работ Указать область дифференцируемости функции Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора в ряд Лорана

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Вычисление объёмов. Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями z = f1(x,y), z = f2(x,y), , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, равен ; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

 Примеры. 1. Найти объём тела

Решение. Тело изображено на рисунке слева. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось Oxz:   Область D - треугольник, ограниченный прямыми x = 0, z = 0, 2x + z = 4, поэтому  

.

Найти объём области, ограниченной поверхностями x2 + y2 + z 2 = R 2,

(x2 + y2) 3 = R 2(x2 + y2).

Решение. Первая поверхность - сфера, вторая - цилиндрическая - с образующими, параллельными оси Oz (в уравнении нет z в явной форме). Построить в плоскости Oxy кривую шестого порядка, заданную уравнением (x2 + y2) 3 = R 2(x2 + y2), в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей (чётные степени) и точка О(0,0) принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам.

  Эту кривую построить уже можно.  максимально, когда , минимально, когда

, и гладко меняется между этими пределами (точка О(0,0) не принадлежит этой кривой, где мы её потеряли?).

Пользуясь симметрией, получаем

 

  и т.д.

Теорема 2. Если поверхность  задана параметрическими уравнениями , где  - непрерывно дифференцируемые функции на . Пусть  непрерывна на . Тогда .

Теоремы 1 и 2 мы оставим без доказательства.

Вместо этого приведем пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.

Задача. Найти , где  - граница тела .

Решение. Это тело представляет собой конус:

 состоит из боковой поверхности  и основания . На боковой поверхности, уравнение которой  всюду, кроме точки   и   и .


Вычисление двойного интеграла